Question

已知函数f（x）=x²-2x+4，g（x）=|x-1-a|+|x-2|；
（1）求函数f（x）在区间x∈[-1，m]（m＞-1）上的值域；
（2）若对于任意的实数x，不等式f（x）-g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由 函数f（x）=（x-1）²+3，x∈[-1，m]，利用二次函数的性质，分类讨论求得函数的值域．
（2）不等式f（x）≥g（x），即 x²-2x+4-|x-2|≥|x-1-a|，再分x≥2和x＜2两种情况，分别求得a的范围，综合可得结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，x∈[-1，m]，若-1＜m＜1，则f（x）∈[m²-2m+4，7]；
若1≤m＜3，f（x）∈[3，7]；若m≥3，f（x）∈[3，m²-2m+4]．
（2）∵f（x）≥g（x），即 x²-2x+4-|x-2|≥|x-1-a|
（i）若x≥2，即x²-2x+4-（x-2）≥|x-1-a|恒成立，
即x²-3x+6≥|x-1-a|，即-x²+3x-6≤x-1-a≤x²-3x+6，
即

x2-2x+5-a≥0 x2-4x+7+a≥0

，⇒

5-a≥0 3+a≥0

，求得-3≤a≤5．
（ii）若x＜2，不等式即 x²-2x+4-（2-x）≥|x-1-a|，可得x²-x+2≥|x-1-a|，
即-x²+x-2≤x-1-a≤x²-x+2，⇒

x2+1-a≥0 x2-2x+3+a≥0

，⇒

1-a≥0 2+a≥0

，⇒-2≤a≤1．
综上，

-3≤a≤5 -2≤a≤1

，故有-2≤a≤1．

点评：本题主要考查二次函数的性质，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．