Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=AA₁=2，E是BC中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面AEC₁；
（Ⅱ）求点A₁到平面AEC₁的距离．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）连接A₁C交AC₁于点O，连接EO，由已知得EO∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出点A₁到平面AEC₁的距离．

解答： （I）证明：连接A₁C交AC₁于点O，连接EO，
因为ACC₁A₁为正方形，所以O为A₁C中点，
又E为CB中点，所以EO为△A₁BC的中位线，
所以EO∥A₁B，
又EO?平面AEC₁，A₁B不包含于平面AEC₁，
所以A₁B∥平面AEC₁．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），A₁（0，0，2），E（1，1，0），C₁（0，2，2），

AA1

=（0，0，2），

AE

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，2），
设平面AEC₁的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AE =x+y=0 n • AC1 =2y+2z=0

，
取y=-1，得

n

=(1，-1，1)，
∴点A₁到平面AEC₁的距离d=

| AA1 ， n |

| n |

=

|2|

3

=

2 3

3

．
∴点A₁到平面AEC₁的距离为

2 3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．