Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象在点（1，f（1））的切线l过点（0，c-1）
（1）求a的值
（2）当b=2c＞0时，函数F（x）=x[f（x）+c²-c]对任意x₁，x₂∈[-c，c]，不等式|F（x₁）-F（x₂）|≤

1

3

c恒成立，求c的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，切点坐标，由两点的斜率公式，即可得到a；
（2）化简F（x），求导数，求出在[-c，c]内的极值，以及最值，由条件可知最大值与最小值的差不大于

1

3

c，解不等式，即可得到c的最大值．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax²+bx+c的导数f′（x）=2ax+b，
f′（1）=2a+b，f（1）=a+b+c，
由于切线l过点（0，c-1），则2a+b=

a+b+c-(c-1)

1

，
∴a=1．
（2）当b=2c＞0时，函数F（x）=x[f（x）+c²-c]
=x（x²+2cx+c+c²-c）=x（x+c）²，F′（x）=（x+c）（3x+c），
当-c≤x≤-

c

3

时，F′（x）≤0，-

c

3

≤x≤c时，F′（x）≥0，
则F（x）在x=-

c

3

处取极小值，也为最小值，且为-

4

27

c³，
F（c）=4c³，F（-c）=0，则最大值为4c³，
由于对任意x₁，x₂∈[-c，c]，不等式|F（x₁）-F（x₂）|≤

1

3

c恒成立，
即有

1

3

c≥4c³-（-

4

27

c³），
由于c＞0，则c≤

3 7

28

，
故c的最大值为

3 7

28

．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线，求单调区间和极值，以及最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．