Question

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=3，且

1

an+1

-

2

an

=a_n+1-2a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求证：数列{a_n-

1

an

}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²，T_n=

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

，求S_n+T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，从而{an-

1

an

}为一个等比数列，其公比为2，首项为a1-

1

a1

=

8

3

，由此能求出a_n=

1

3

（2ⁿ⁺¹+

22n+2+9

）．
（2）由S_n+T_n=(a12+a22+…+an2)+（

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

）=(a12-

1

a12

)+(a22-

1

a22

)+…+（an2-

1

an2

）+2n，能求出S_n+T_n．

解答： （本小题满分12分）
解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=3，且

1

an+1

-

2

an

=a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴an+1-

1

an+1

=2(an-

1

an

)，
∴{an-

1

an

}为一个等比数列，其公比为2，首项为a1-

1

a1

=

8

3

，…（2分）
∴an-

1

an

=

8

3

•2n-1=

2n+2

3

，n∈N^*，①…（4分）
∵a_n＞0，∴由①解出a_n=

1

3

（2ⁿ⁺¹+

22n+2+9

）．…（5分）
（2）由①式有S_n+T_n=(a12+a22+…+an2)+（

1

a12

+

1

a22

+…+

1

an2

）
=(a12+

1

a12

)+(a22+

1

a22

)+…+（an2+

1

an2

）
=(a12-

1

a12

)+(a22-

1

a22

)+…+（an2-

1

an2

）+2n…（9分）
=(

23

3

)2+(

24

3

)2+(

25

3

)2+…+(

2n+2

3

)2+2n
=

64

27

(4n-1)+2n，n∈N^*．…（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，是中档题．