Question

如图所示，A，B为单位圆O上的两点，且点A（1，0），B（

1

2

，

3

2

），点P为弧AB（不包括端点A，B）上的动点，点P（cosθ，sinθ），OP∩AB=C，且

AC

=λ

AB

．
（Ⅰ）求λ（用θ表示）；
（Ⅱ）若

OC

•

AC

=-

1

16

时，求tanθ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则可得

OC

=（1-

λ

2

，

3

2

λ），根据

OP

∥

OC

，可得

1- λ 2

cosθ

=

3 2 λ

sinθ

，由此λ 的值．
（Ⅱ）由

OC

•

AC

=

λ2

2

-

λ

2

=-

1

16

，求得λ=

1

4

，可得 

sinθ

sin(θ+ π 3 )

=

1

4

，由此求得tanθ 的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

AC

=

OC

-

OA

=λ•

AB

=λ（-

1

2

，

3

2

），∴

OC

=（1-

λ

2

，

3

2

λ）．
又

OP

=（cosθ，sinθ），

OP

∥

OC

，∴

1- λ 2

cosθ

=

3 2 λ

sinθ

，∴λ=

sinθ

sin(θ+ π 3 )

．
（Ⅱ）∵

OC

•

AC

=（1-

λ

2

，

3

2

λ）•（-

λ

2

，

3

2

λ）=

λ2

2

-

λ

2

=-

1

16

，求得λ=

1

4

，
∴

sinθ

sin(θ+ π 3 )

=

1

4

，求得tanθ=

3

7

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，属于基础题．