Question

已知函数f（x）=lnx+ax+

a+1

x

+3（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a=1时，若关于x的不等式f（x）≥m²-5m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，得到切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到；
（2）求导数，得到单调区间，求出函数的极小值，也为最小值，由条件可知，只要最小值不小于m²-5m，解不等式即可得到．

解答： 解：（1）当a=1时，曲线y=f（x）=lnx+x+

2

x

+3，
y′=

1

x

+1-

2

x2

，y′|_x=2=

1

2

+1-

1

2

=1，f（2）=ln2+6，
则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-ln2-6=x-2，
即y=x+ln2+4．
（2）当a=1时，f（x）=lnx+x+

2

x

+3（x＞0），
f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

=

(x+2)(x-1)

x2

，
当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，
则x=1为f（x）的极小值点，也为最小值点，且f（1）最小，为6．
由于关于x的不等式f（x）≥m²-5m恒成立，则有m²-5m≤6，
解得-1≤m≤6．
则实数m的取值范围是[-1，6]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值、最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，属于中档题．