Question

定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和（

1

b

，

1

a

），则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式x²-4

3

xcos2θ+2＜0与不等式x²-2xsin2θ+

1

2

＜0为对偶不等式，此处θ∈（0，π），则θ=

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：设x²-4

3

xcos2θ+2=0的两个根为t₁、t₂，且 t₁＜t₂，则由题意利用二次函数的性质，韦达定理求得tan2θ=

3

．再结合θ∈（0，π），可得θ 的值．

解答： 解：设x²-4

3

xcos2θ+2=0的两个根为t₁、t₂，且 t₁＜t₂，则由题意可得x²-2xsin2θ+

1

2

=的根为

1

t2

、

1

t1

，且

1

t2

＜

1

t1

．
再利用韦达定理可得t₁+t₂=4

3

cos2θ，t₁•t₂=2，且

1

t2

+

1

t1

=2sin2θ，

1

t2

•

1

t1

=

1

2

．
再根据

1

t2

+

1

t1

=

t1+t2

t1•t2

 可得2sin2θ=

4 3 cos2θ

2

，求得tan2θ=

3

．
再结合θ∈（0，π），可得2θ=

π

3

，或2θ=

4π

3

，∴θ=

π

6

 或θ=

2π

3

，
故答案为：

π

6

或

2π

3

．

点评：本题主要考查新定义、二次函数的性质，韦达定理的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．