Question

对于函数f（x），如果存在锐角θ使得f（x）的图象绕坐标原点逆时针旋转角θ，使得曲线仍是一个函数图象，则称函数f（x）在角θ上的“坚强函数”，给出下列5个函数：
 ①y=x²
②y=(

1

2

)x
③y=lnx
④y=sinx
⑤y=

x2-1

其中在角

π

4

上的“坚强函数”是

 

（写出所有正确的序号）．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：若函数f（x）逆时针旋转角θ后所得曲线仍是一函数，根据函数的定义中的“唯一性”可得函数f（x）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b均不能有两个以上的交点，逐一分析四个答案中的函数是否满足这一性质，可得答案．

解答： 解：若函数f（x）逆时针旋转角

π

4

后所得曲线仍是一函数，
则函数f（x）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b均不能有两个以上的交点
①y=x² 中函数与直线y=x有两个交点，不满足要求；
②中函数y=(

1

2

)x与直线y=x+b均有且只有一个交点，满足要求；
③函数y=lnx与直线y=x-1有两个交点，不满足要求；
④y=sinx与直线y=x+b均有且只有一个交点，满足要求；
⑤y=

x2-1

与直线y=x+b均有且只有一个交点，满足要求；
故答案为：②④⑤

点评：本题考查的知识点是函数的定义，其中根据函数的定义分析出函数f（x）的图象与任一斜率为1的直线y=x+b均不能有两个以上的交点，是解答本题的关键．