Question

设函数f（x）=lnx，有以下4个命题
①对任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②对任意的x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③对任意的x₁、x₂∈（e，+∞），且x₁＜x₂有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④对任意的0＜x₁＜x₂，总有x₀∈（x₁，x₂），使得f（x₀）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正确的是

 

（填写序号）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：利用对数函数的单调性性质求解即可．

解答： 解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函数，
∴对于①由f（

x1+x2

2

）=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，
∵

x1+x2

2

＞

x1x2

，
故f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
故①错误．
对于②，∵x₁＜x₂则有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函数的定义得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正确，
对于③由不等式的性质得x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故③错误；
对于④令1=x₁＜x₂=e²，x₀=e得，f（x₀）＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
 故④错误．
故答案为②．

点评：本题考查对数函数的图象与性质的理解运用能力以及判断命题真假的方法，如特例法．