Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F₁PF₂=

π

2

，记线段PF₁与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先利用PF₁与轴的交点为Q，△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，点F₁（-c，0），求得点P的坐标，代入椭圆标准方程即可得关于a、b、c的等式，从而求得椭圆离心率．

解答： 解：设Q（0，m），P（x，y）
∵△F₁OQ与四边形OF₂PQ的面积之比为1：2，
∴△F₁OQ与三角形PF₁F₂的面积之比为1：3
∴

1

2

×c×m=

1

3

×

1

2

×2c×y，∴m=

2

3

y
又∵

y

x+c

=

m

c

∴x=

c

2

，
∵∠F₁PF₂=

π

2

，
∴

y

x+c

×

y

x-c

=-1，
∴y²=

3

4

c2
将x=

c

2

和y²=

3

4

c2代入椭圆方程化简得e²+

3e2

1-e2

=4，解得e=

3

-1
故答案为：

3

-1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，特别是椭圆离心率的求法，利用已知几何条件建立关于a、b、c的等式，是解决本题的关键．