Question

函数f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞），若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，则

x2+2x+a

x

＞1对任意x∈[1，+∞）恒成立，则a＞-x²-x对任意x∈[1，+∞）恒成立，令u=-x²-x，则a大于u的最大值．

解答： 解：若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞1恒成立，
则

x2+2x+a

x

＞1对任意x∈[1，+∞）恒成立，
则a＞-x²-x对任意x∈[1，+∞）恒成立，
令u=-x²-x，由函数的图象为开口朝下，且以直线x=-

1

2

为对称轴的抛物线，
故当x=1时，u取最小值-2，
故a＞-2，
故实数a的取值范围为（-2，+∞），
故答案为：（-2，+∞）

点评：本题考查的知识点是恒成立问题，其中将问题转化为最值问题是解答的关键．