Question

设x，y，z∈R，且x+2y+3z=1
（1）当z=1，|x+y|+|y+1|＞2时，求x的取值范围；
（2）当x，y，z∈R⁺时，求u=

x2

x+1

+

4y 2

2y+1

+

9z2

3z+1

的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当z=1时，y=-1-

x

2

，原不等式化为|x-2|+|x|＞4，再通过对自变量x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得x的取值范围；
（2）依题意，利用柯西不等式4μ=（

x2

x+1

+

4y 2

2y+1

+

9z2

3z+1

）[（x+1）+（2y+1）+（3z+1）]≥（x+2y+3z）²=1，从而可求得μ的最小值．

解答： 解：（1）当z=1时，y=-1-

x

2

，从而|x-2|+|x|＞4．  …（2分）
①当x≤0时，2-x-x＞4，解得x＜-1；
②当0＜x≤2时，2-x+x＞4，无解；
③当x＞2时，x-2+x＞4，解得x＞3．综上，x的取值范围是{x|x＜-1或x＞3}…6
（Ⅱ）∵x+2y+3z=1，x，y，z∈R⁺，
∴4μ=（

x2

x+1

+

4y 2

2y+1

+

9z2

3z+1

）[（x+1）+（2y+1）+（3z+1）]≥（x+2y+3z）²=1，
∴μ≥

1

4

．…（10分）    
 当

x

x+1

=

2y

2y+1

=

3z

3z+1

，即x=2y=3z=

1

3

，x=

1

3

，y=

1

6

，z=

1

9

时，μ_min=

1

4

．…（12分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查通过分类讨论去掉绝对值符号，突出等价转化思想与柯西不等式的应用考查，属于难题．