Question

如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥平面ABEF，且DA=1，AB∥EF，AB=

1

2

EF=2

2

，AF=BE=2，M为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AM⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-DF-E的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得四边形ABEM是平行四边形，AM∥BE，AM=BE=2，由此能证明AM⊥平面ADF．
（2）过过A作AG⊥DF于G，连接MG，由已知得∠MGA为二面角A-DF-E的平面角，由此能求出二面角A-DF-E的平面角的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（1）证明：∵M为EF的中点，∴EM=AB=2

2

，
又∵EF∥AB，∴四边形ABEM是平行四边形，
∴AM∥BE，AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2

2

，
∴△MAF是直角三角形，且∠MAF=90°，∴MA⊥AF，…（2分）
又∵DA⊥平面ABEF，MA?平面ABEF，
∴MA⊥DA，…（4分）
又∵DA∩AF=A，DA，AF?平面ADF，
AM⊥平面ADF．…（6分）
（2）解：过A作AG⊥DF于G，连接MG，
∵AM⊥平面ADF，AG⊥DF，∴MG⊥DF，
∴∠MGA为二面角A-DF-E的平面角，（8分）
在RT△ADF中，|AD|•|AF|=|DF|•|AG|，
∴AG=

2 5

5

，
在Rt△AMG中，AM=2，AG=

2 5

5

，MG=

2 30

5

，…（10分）
∴cos∠MGA=

AG

MG

=

6

6

，
∴二面角A-DF-E的平面角的余弦值

6

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．