Question

已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）．

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值并写出f（x）取最大值时的x的集合；
（3）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的图象,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），可将函数解析式化为正弦型函数，结合ω值，可求出函数的周期；
（2）令2x-

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，可得f（x）的最大值及f（x）取最大值时的x的集合；
（3）利用五点法可画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

解答： 解：∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=

2

sin（2x-

π

4

）+1…（4分）；
（1）∵ω=2，
∴T=π，
（2）当2x-

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

3π

8

+kπ，k∈Z时，f（x）取最大值，
f（x）的最大值为

2

+1，此时x的集合为{x|x=

3π

8

+kπ，k∈Z}；…（8分）；
（3）列表得：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
y	2	1+ 2	1	1- 2	1	2

…（10分）；
函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象如图所示：

…（12分）；

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性和最值，是三角函数与集合的综合应用，难度中档．