Question

设点A、B的坐标分别为（0，1），（0，-1），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是常数-

1

m+1

（m≠-1）．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx-

1

3

交曲线C于点P，Q，是否存在m，使得以PQ为直径的圆恒过点A？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），利用直线AM、BM的斜率之积是常数-

1

m+1

，列出关系式，即可得到曲线C的方程．
（Ⅱ）假设存在．将l：y=kx-

1

3

代入

x2

m+1

+y2=1，利用韦达定理，通过

AP

•

AQ

=0，得到-（1+k²）8（m+1）-8（m+1）k²+16[（m+1）k²+1]=0．求出m=1．使得以PQ为直径的圆恒过点A．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），
因为kAM=

y-1

x

，kBM=

y+1

x

，
所以

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

m+1

，即

x2

m+1

+y2=1．
所以，曲线C的方程是

x2

m+1

+y2=1(x≠0)．…（4分）
（Ⅱ）假设存在．将l：y=kx-

1

3

代入

x2

m+1

+y2=1，得[(m+1)k2+1]x2-

2

3

(m+1)kx+(

1

3

)2(m+1)=m+1．
即9[（m+1）k²+1]x²-6（m+1）kx-8（m+1）=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则
由韦达定理，得

x1+x2= 6(m+1)k 9[(m+1)k2+1] x1x2= -8(m+1) 9[(m+1)k2+1]

．
依题意∠PAQ=90°，所以

AP

•

AQ

=0，
即（x₁，y₁-1）（x₂，y₂-1）=0．∴x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=0，x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)=0．
即9（1+k²）x₁x₂-12k（x₁+x₂）+16=0．
于是9(1+k2)

-8(m+1)

9[(m+1)k2+1]

-12k

6(m+1)k

9[(m+1)k2+1]

+16=0．
即-（1+k²）8（m+1）-8（m+1）k²+16[（m+1）k²+1]=0．
化简，得m=1．
所以，存在m=1，使得以PQ为直径的圆恒过点A．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的位置关系，存在性问题的解法，考查分析问题解决问题的能力．