Question

求直线

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数）被曲线ρ=

2

cos（θ-

π

4

）所截的弦长，将方程

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

，ρ=

2

cos（θ+

π

4

）分别化为普通方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由直线

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数）消去参数t可得3x+4y+1=0，由曲线ρ=

2

cos（θ+

π

4

）展开化为x²+y²=x-y，
配方为(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，可得圆心C，半径r．利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离d．再利用弦长|AB|=2

r2-d2

即可得出．

解答： 解：由直线

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数）消去参数t可得3x+4y+1=0，
由曲线ρ=

2

cos（θ+

π

4

）可得ρ2=

2

ρ(

2

2

cosθ-

2

2

sinθ)，化为x²+y²=x-y，
配方为(x-

1

2

)2+(y+

1

2

)2=

1

2

，可得圆心C(

1

2

，-

1

2

)，半径r=

2

2

．
圆心到直线的距离d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

32+42

=

1

10

．
∴弦长|AB|=2

r2-d2

=

7

5

．

点评：本题考查了参数方程极坐标方程化为普通方程、圆的标准方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了计算能力，属于中档题．