Question

函数f（x）=2sin（

π

3

-2x+φ），（0≤φ≤π）．
（1）当φ=0时，写出f（x）的递增区间；
（2）若f（x）是奇函数，求φ的值；
（3）f（x）的图象有一条对称轴x=

π

3

，求φ的值；
（4）f（x）的图象由y=-2sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到，求φ的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）直接由复合函数的单调性求f（x）的递增区间；
（2）根据函数为奇函数，由f（0）=0求得φ的值；
（3）由f(

π

3

)=±2求得φ的值；
（4）求出y=-2sin2x的图象向右平移

π

4

个单位得到图象对应的函数解析式，由两函数解析式相同列式求得φ的值．

解答： 解：（1）φ=0时，f（x）=2sin（

π

3

-2x）=-2sin（2x-

π

3

），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，得

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z．
∴f（x）的递增区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z；
（2）∵f（x）=2sin（

π

3

-2x+φ）为奇函数，
∴f（0）=0，即sin（

π

3

+φ）=0．
∵0≤φ≤π，
∴φ=

2π

3

；
（3）∵f（x）的图象有一条对称轴x=

π

3

，则f(

π

3

)=2sin(

π

3

-2×

π

3

+φ)=±2．
即sin（φ-

π

3

）=±1．
∵0≤φ≤π，
∴φ=

5π

6

；
（4）由y=-2sin2x的图象向右平移

π

4

个单位，得到y=-2sin2（x-

π

4

）．
f（x）=2sin（

π

3

-2x+φ）=-2sin（2x-φ-

π

3

）．
∴-φ-

π

3

=-

π

2

．
φ=

π

6

．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象好性质，考查了三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，是中档题．