Question

已知函数f（x）=

9x

1+ax2

（a＞0）
（1）若直线y=-x+2a为曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（2）求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值；
（3）当a=2时，设x₁，x₂，x₃，…，x₂₀₁₄∈[

1

2

，2]且x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，若不等式f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）设切点为（t，f（t）），则

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a

，解出方程组可求；
（2）先求f'（x），令f'（x）=0，可得极值点，分极值点在区间[

1

2

，2]内、外进行讨论可得函数的最大值；
（3）f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，等价于f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）的最大值小于等于λ．a=2时可得f（x），且由（2）知y=4-x为其切线，先由图象分析然后可证明f（x）≤4-x，由此对f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）放大，f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₂₀₁₄）≤4×2014-（x₁+x₂+…+x₂₀₁₄）=6042，从而可求最大值，注意检验等号取得条件．

解答： 解：（1）设切点为（t，f（t）），则

f′(t)=-1 f(t)=-t+2a

，
由f'（t）=-1，有

9(1-at2)

(1+at2)2

=-1，化简得a²t⁴-7at²+10=0，即at²=2或at²=5，①
由f（t）=-t+2a，有

9t

1+at2

=2a-t，②
由①、②解得a=2或a=

5 3 4

4

．      …（4分）
（2）f′(x)=

9[1•(1+ax2)-x•2ax]

(1+ax2)2

=

9(1-ax2)

(1+ax2)2

，…（6分）
令f'（x）=0，解得x=±

a

a

（负值舍去），
（ⅰ）当

a

a

≥2即0＜a≤

1

4

时，由P，得f'（x）≥0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f(2)=

18

4a+1

．…（7分）
（ⅱ）当

a

a

≤

1

2

即a≥4时，由x∈[

1

2

，2]，得f'（x）≤0，∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为A．…（8分）
（ⅲ）当

1

2

＜

a

a

＜2即

1

4

＜a＜4时，
∵在

1

2

＜x＜

a

a

时，f′（x）＞0，在

a

a

＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[

1

2

，2]上的最大值为f（

a

a

）=

9 a

2a

．…（9分）
（3）当a=2时，f（x）=

9x

1+2x2

，
由（1）的结论知直线y=4-x为曲线y=f（x）的切线，
∵f（2）=2，∴点（2，f（2））在直线y=4-x上，
根据图象分析，曲线y=f（x）在直线y=4-x下方．   …（10分）
下面给出证明：当x∈[

1

2

，2]时，f（x）≤4-x．
∵f（x）-（4-x）=

2(x-1)2(x-2)

1+2x2

，
∴当x∈[

1

2

，2]时，f（x）-（4-x）≤0，即f（x）≤4-x．…（12分）
∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤4×2014-（x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄），
∵x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，∴f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤6042．
∴要使不等式f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）≤λ恒成立，必须λ≥6042．…（13分）
又∵当x₁=x₂=x₃=…=x₂₀₁₄=1时，满足条件x₁+x₂+x₃+…+x₂₀₁₄=2014，
且f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+…+f（x₂₀₁₄）=3×2014=6042，
因此，λ的最小值为6042．    …（14分）

点评：本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．