Question

（1）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆

x2

3

+y²=1上的一个动点，求S=x+y的最大值．
（2）设a，b，c为正实数，求证：

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明,椭圆的简单性质

专题：不等式的解法及应用,不等式

分析：本题（1）利用三角代换，将x+y转化为三角函数关系式，通过三角化简，求出S的最大值；（2）将原式配凑成积为定值的形式，利用基本不等式求出原式的最小值．

解答： 解：（1）∵点P（x，y）是椭圆

x2

3

+y²=1上的一个动点，
∴设x=

3

cosθ，y=sinθ，θ∈R．
∴S=x+y=

3

cosθ+sinθ=2(

3

2

cosθ+

1

2

sinθ)=2sin(θ+

π

3

)≤2．
∴S=x+y的最大值为2．
（2）∵a，b，c为正实数，
∴

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc=

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+

1

3

abc+

1

3

abc+

1

3

abc
≥6

6	1 a3 × 1 b3 × 1 c3 × 1 3 abc× 1 3 abc× 1 3 abc

=6

6	1 27

=2

3

．
当且仅当

1

a3

=

1

b3

=

1

c3

=

1

3

abc，即a=b=c=

6	3

时取等号．
∴

1

a3

+

1

b3

+

1

c3

+abc≥2

3

．

点评：本题考查了三角代换求最值，基本不等式法求最值，注意在求和的最小值时，要运用基本不等式，就必须先将积凑成定值．本题有一定的综合性，属于中档题．