Question

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线y=-2的距离小1．
（1）求动点P的轨迹的方程；
（2）记P的轨迹方程为E，过点F作两条互相垂直的直线分别交曲线E于A，B，C，D四点，设弦AB、CD的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点，并求出该点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）依题意有 （y-1）²+x²=|y+2|-1，由此能求出动点P的轨迹的方程．
（2）设直线AB和CD的解析式为：y=kx+1，y=-

1

k

x+1，点M、N的坐标分别为（x_m，y_m），（x_n，y_n），将y=kx+1，y=-

1

k

x+1分别代入x²=4y，得x²-4kx-4=0和x²+

4

k

x-4=0，由韦达定理结合已知条件能证明直线MN过定点（0，3）．

解答： （1）解：依题意有 （y-1）²+x²=|y+2|-1，
由题意知y＞-2，
∴（y-1）²+x²=|y+1|，
化简得动点P的轨迹的方程为：x²=4y．
（2）证明：由题意，可设直线AB和CD的解析式为：y=kx+1，y=-

1

k

x+1，
点M、N的坐标分别为（x_m，y_m），（x_n，y_n），
将y=kx+1，y=-

1

k

x+1分别代入x²=4y得：
x²-4kx-4=0和x²+

4

k

x-4=0，
由根与系数关系得：
x_m=2k，y_m=2k²+1，x_n=-

2

k

，y_n=

2

k2

+1，
则M（2k，2k²+1），N（-

2

k

，

2

k2

+1）
则直线MN的解析式为：y=（k-

1

k

）x+3
∴直线MN过定点，该点坐标为（0，3）．

点评：本题主要考查点的轨迹方程的求法，考查直线过定点坐标的证明，考查直线与抛物线等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．