Question

已知a＞b＞c，且a+b+c=0，
（1）试判断a，c及2a+c的符号；
（2）用分析法证明：

b2-ac

a

＜

3

．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）,不等式的基本性质

专题：不等式

分析：对第（1）问，由a＞b，a＞c，利用不等式的可加性可知a+a＞b+c，再在此两边同时加上a，即可得a的符号；同理可得c的符号；将2a+c写成a+（a+c），利用a+c=-b及a＞b可得到2a+c的符号．
对第（2）问，将原式转化为

b2-ac

＜

3

a，两边平方后，利用b=-（a+c）消去b，通过讨论a与c的关系得到证明．

解答： 解：（1）∵a+b+c=0，a＞b＞c，∴0=a+b+c＜3a，∴a＞0，
同理，由0=a+b+c＞3c，得c＜0．
又由a+c=-b，得2a+c=a+a+c=a-b＞0．
综上知，a＞0，c＜0，2a+c＞0．
（2）证明：要证

b2-ac

a

＜

3

，只需证

b2-ac

＜

3

a，
由（1）知，a＞0，即证b²-ac＜3a²，
又b=-（a+c），只需证（a+c）²-ac＜3a²，
即证（a-c）（2a+c）＞0，
∵a-c＞0，2a+c＞0，∴（a-c）（2a+c）＞0成立，
故原不等式成立．

点评：1．本题考查了不等式的基本性质，及分析法证明不等式，关键在于充分挖掘题设条件，并利用第（1）问的结论解决第（2）问．
2．对分析法的理解：从求证不等式出发，分析使不等式成立的充分条件，进而转化为判定此条件是否具备．其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．书写模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B₁为真，从而有…，这只需证明B₂为真，从而又有…，…这只需证明A为真，而A显然为真，故B必为真．
3．事实上，对第（1）问中a，c的符号判断，也可以用反证法：假设a≤0，由a＞b＞c知，b＜0，c＜0，从而a+b+c＜0，这与a+b+c=0矛盾，故a＞0；假设c≥0，同理可得矛盾，可知c＜0．