Question

讨论关于x的方程|x²-4x+3|-a=x的根的个数．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：将方程根的问题转化为函数的交点问题，分别讨论①a的范围是[-1，-

3

4

]时，②a＞-

3

4

，或-3＜a＜-1时，③a=-3时，④a＜-3时的情况，从而得出方程的根的个数．

解答： 解：利用图象，
y=|x²-4x+3|
y=x+a，直线斜率为1，
画出两个函数的图象，
如图示：


红色实线，过（1，0），则a=-1
红色虚线，过与抛物线相切，
y=-x²+4x-3，和y=x+a相切
-x²+3x-（3+a）=0
∴9+4（3+a）=0
∴a=-

3

4

∴①a的范围是[-1，-

3

4

]时，图象有3个交点，即方程有3个解；
②a＞-

3

4

，或-3＜a＜-1时，图象有2个交点，即方程有2个解；
③a=-3时，图象有1个交点，即方程有1个解；
④a＜-3时，图象无交点，即方程无解．

点评：本题考查了方程的根的问题，考查二次函数的性质，考查转化思想，数形结合思想，分类讨论思想，是一道中档题．