Question

已知向量

a

=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（k，t）．
（Ⅰ）若

AB

⊥

a

，且|

AB

|=

5

|

OA

|（O为坐标原点），求向量

OB

；
（Ⅱ）若向量

AC

与向量

a

共线，且tk取最大值时，求

OA

•

OC

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：本题（1）利用向量垂直的坐标表示及向量模的坐标表示，列出关于n，t的方程组，求出方程组的解即可；（2）向量

AC

向与量

a

共线，得出t，k的关系式，根据tk的最大值，求出k，t的值，得到

OA

•

OC

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵点A（8，0），B（n，t），
∴

AB

=(n-8，t)，

OA

=(8，0)．
∵向量

a

=（-1，2），

AB

⊥

a

，
∴8-n+2t=0，
∴n=2t+8．①
又∵|

AB

|=

5

|

OA

|，
∴（n-8）²+t²=5×64．②
∴t=±8．
当t=8时，n=24；当t=-8时，n=-8．
∴

OB

=（24，8）或

OB

=（-8，-8）
（2）∵点A（8，0），C（k，t），
∴

AC

=(k-8，t)．
∵向量

a

=（-1，2），向量

AC

与向量

a

共线，
∴t=16-2k．
∴tk=（16-2k）k=-2k²+16k=-2（k-4）²+32≤32，
∴当tk最大时，k=4，t=8，
此时，

OA

•

OC

=8k+t=40．

点评：本题考查向量共线、垂直的坐标表示、向量的模的计算，函数最值求解，分类讨论、计算等思想方法和能力，属于中档题．