Question

如图，AB是⊙0的直径，点C是⊙0上的点，过点C的直线VC垂直于⊙0所在平面，且AC=

3

VC．
（Ⅰ）求证：平面VAC⊥平面VBC；
（Ⅱ）求直线VA与平面VBC所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得VC⊥AC，AC⊥BV．从而AC⊥平面VBC，由此能证明平面VAC⊥平面VBC．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∠AVC为直线VC与平面VBC所成的角．由此能求出直线V与平面VBC所成的角．

解答： （Ⅰ）证明：∵VC⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴VC⊥AC．
又C是⊙O上的点，AB是直径，
∴AC⊥BV．
∵VC?平面VAC，BC?平面VAC，VC∩BC=C，
∴AC⊥平面VBC．
又AC?平面VAC，
∴平面VAC⊥平面VBC．…（7分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∠AVC为直线VC与平面VBC所成的角．
在Rt△ACV中，tan∠AVC=

AC

VC

=

3

，
∴∠AVC=60°．
∴直线V与平面VBC所成的角为60°．…（13分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．