Question

设a，b分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x²+2ax+b=0的实根的个数（方程有等根时按一个计数）．
（1）求方程x²+2ax+b=0有实根的概率；
（2）求ξ的概率分布表及数学期望；
（3）求在抛掷过程中，至少出现一次点数为6的条件下，方程x²+2ax+b=0有实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,离散型随机变量及其分布列

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件根据分步计数原理知是36，满足条件的事件：方程无实根，则4a²-4b≥0，a²≥b，通过列举法得到所包含的基本事件个数，利用古典概型的概率公式求出值．
（2）由题意知实根的个数只有三种结果，0、1、2，根据上一问的计算可以写出当变量取值时对应的概率，写出分布列及数学期望；
（3）利用古典概型的概率公式求出事件“先后两次出现的点数中有6”的概率，利用条件概率的概率公式求出方程x²+2ax+b=0有实根的概率．

解答： 解：（1）基本事件总数：6×6=36
①△＞0，即4a²-4b＞0，a²＞b，共有5+5+5+4+4+4=27
②△=0，a²=b，共有1+1=2个
故方程有实根概率P=

27+2

36

=

29

36

（2）P（ξ=0）=

7

36

，P（ξ=1）=

2

36

=

1

18

，P（ξ=2）=

27

36

=

3

4

ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	7 36	1 18	3 4

数学期望：Eξ=0×

7

36

+1×

1

18

+2×

3

4

=

28

18

=

14

9

（3）“有6”为事件A，则P（A）=1-

25

36

=

11

36

，P（AB）=

9

36

∴P（B|A）=

9

11

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，比较基础．