Question

设f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）若对任意实数x∈[5，9]，f（x）≤ax-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）利用等价转化思想，可得f（x）≤ax-1恒成立?2x-7≤ax-1（5≤x≤9）恒成立?a≥

2x-6

x

=2-

6

x

（5≤x≤9）恒成立，构造函数g（x）=2-

6

x

，利用其单调性可求得它的最大值，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=|x-3|+|x-4|≤2，
∴当x＜3时，3-x+4-x≤2，
解得：x≥

5

2

，又x＜3，∴

5

2

≤x＜3；
当3≤x≤4时，x-3+4-x≤2，即1≤2恒成立，∴3≤x≤4；
当x＞4时，x-3+x-4≤2，解得：x≤

9

2

，又x＞4，∴4＜x≤

9

2

；
综上所述，

5

2

≤x≤

9

2

，即原不等式的解集为{x|

5

2

≤x≤

9

2

}．
（Ⅱ）∵x∈[5，9]，∴f（x）≤ax-1恒成立?2x-7≤ax-1（5≤x≤9）恒成立?a≥

2x-6

x

=2-

6

x

（5≤x≤9）恒成立，
∴a≥(2-

6

x

)max．
∵g（x）=2-

6

x

在区间[5，9]上单调递增，
∴g（x）_max=g（9）=2-

2

3

=

4

3

．
∴a≥

4

3

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．