Question

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（2）求A₁C与平面A₁ABB₁所成的角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证明平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁，只要从平面A₁BC中找一条直线和平面A₁ABB₁垂直即可，容易证明BC⊥平面ABB₁A₁，且BC?平面A₁BC；
（2）根据（1）便知∠CA₁B是A₁C和平面ABB₁A₁所成的角，所以在Rt△CBA₁中，求出BC，A₁C的长度即可．

解答： 解：（1）证明：根据已知条件知：∠EBA=60°，∠DBC=30°；
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB；
又AA₁⊥底面ABC，BC?底面ABC；
∴AA₁⊥BC即BC⊥AA₁，AB∩AA₁=A；
∴BC⊥平面ABB₁A₁，BC?平面A₁BC；
∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）由（1）知BC⊥平面ABB₁A₁，∴∠CA₁B即是A₁C和平面ABB₁A₁所成的角，且△CA₁B是Rt△，∠CBA₁=90°；
由已知条件及（1）知：AB=2，AC=AA₁=4，∠ABC=∠A₁AC=90°，∴BC=

12

，A1C=

32

；
∴sin∠CA1B=

12

32

=

6

4

．

点评：考查平角为180°，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，线面角的定义．