Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-x+2alnx
（1）求f（x）的单调区间；
（2）0＜a＜

1

8

时，判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数并说明理由；
（3）f（x）有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂，证明：f（x₂）＞

-3-2ln2

8

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）函数f（x）=

1

2

x²-x+2alnx的定义域为（0，+∞），且f′（x）=x-1+

2a

x

=

x2-x+2a

x

，
当△=1-8a≤0，即a≥

1

8

时，f′（x）≥0恒成立，
当△=1-8a＞0，且0＜a＜

1

8

，x∈（0，

1- 1-8a

2

）∪（

1+ 1-8a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

）时，f′（x）＜0，
当a≤0，x∈（

1+ 1-8a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，

1+ 1-8a

2

）时，f′（x）＜0，
进而根据函数单调性与导函数符号的关系，可得到f（x）的单调区间；
（2）若f（x）=（a+1）x，则

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，令t（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，利用导数法分析函数单调性和极值，进而判断函数零点的个数，可判断方程：f（x）=（a+1）x根的个数；
（3）由已知可得x₂=

1+ 1-8a

2

∈（

1

2

，1），分析f（x₂）在（

1

2

，1）上的单调性，进而可得结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

1

2

x²-x+2alnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-1+

2a

x

=

x2-x+2a

x

，
当△=1-8a≤0，即a≥

1

8

时，f′（x）≥0恒成立，
此时函数f（x）的单调递增区间为：（0，+∞），
当△=1-8a＞0，即a＜

1

8

时，
若0＜a＜

1

8

，
由x∈（0，

1- 1-8a

2

）∪（

1+ 1-8a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

）时，f′（x）＜0得：
此时函数f（x）的单调递减区间为：（

1- 1-8a

2

，

1+ 1-8a

2

），单调递增区间为：（0，

1- 1-8a

2

）和（

1+ 1-8a

2

，+∞）
若a≤0，
由x∈（

1+ 1-8a

2

，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，

1+ 1-8a

2

）时，f′（x）＜0得：
此时函数f（x）的单调递减区间为：（0，

1+ 1-8a

2

），单调递增区间为：（

1+ 1-8a

2

，+∞）
（2）若f（x）=（a+1）x，则

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，
令t（x）=

1

2

x²-（a+2）x+2alnx=0，
则t′（x）=x-（a+2）+

2a

x

=

x2-(a+2)x+2a

x

=

(x-a)(x-2)

x

，
∵0＜a＜

1

8

，
故当x∈（0，a）∪（2，+∞）时，t′（x）＞0，当x∈（a，2）时，t′（x）＜0，
即t（x）在（0，a）和（2，+∞）上单调递增，在（a，2）上单调递减，
当x=a时，函数取极大值，当x=2时函数取极小值，
∵t（a）＜0，t（10）＞0
故t（x）在（0，a）和（a，2）没有零点，在（2，+∞）有唯一的零点，
∴t（x）有且只有一个零点，
即方程：f（x）=（a+1）x有且只有一个根，
（3）∵f（x）有两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x²-x+2a=0有两个不同的根x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=2a，
∴2a=（1-x₂）•x₂，
由x₁＜x₂，可得：x₂=

1+ 1-8a

2

∈（

1

2

，1），
∵f（x）=

1

2

x²-x+2alnx=

1

2

x²-x+（x₁•x₂）lnx，
∴f（x₂）=

1

2

x₂²-x₂+（x₁•x₂）lnx₂，
∴f′（x₂）=x₂-1+（1-2x₂）lnx₂+

x2-x22

x2

=（1-2x₂）lnx₂，其中x₂∈（

1

2

，1），
∴f′（x₂）＞0，即f（x₂）在（

1

2

，1）上单调递增，
∴f（x₂）＞f（

1

2

）=

-3-2ln2

8

点评：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，运算量大，综合性性，转化困难，属于难题．