Question

在棱长为2的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁B₁，CD的中点．
（1）求直线EC与平面A₁ADD₁所成角的正弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得∠ECB₁为直线EC与平面A₁ADD₁所成角，由此能求出直线EC与平面A₁ADD₁成角的正弦值．
（2）过E作平面ABC的垂线，垂足为E′，E′∈AB，过E′作AF的垂线，设垂足为G，∠EGE′即为二面角E-AF-B的平面角．由此能求出二面角E-AF-B的余弦值．

解答： 解：（1）∵平面A₁ADD₁∥平面B₁BCC₁，
∴直线EC与平面A₁ADD₁所成角，即为直线EC与平面B₁BCC₁所成角．
∵EB₁⊥平面B₁BCC₁，即B₁C为EC在平面B₁BCC₁内的射影，
故∠ECB₁为直线EC与平面B₁BCC₁所成角，
在Rt△EB₁C中，EB₁=1，B1C=2

2

，
∴tan∠ECB₁=

EB1

B1C

=

1

2 2

=

2

4

．
∴sin∠ECB₁=

1

3

，
∴直线EC与平面A₁ADD₁成角的正弦值为

1

3

．…（6分）
（2）过E作平面ABC的垂线，垂足为E′，E′∈AB，
过E′作AF的垂线，设垂足为G，∠EGE′即为二面角E-AF-B的平面角．
由题意得△ADF∽△AGE，
∴

G′E

AE′

=

AD

AF

，∴

GE′

1

=

2

5

，即GE′=

2

5

，
在Rt△EE′Q中，tan∠EGE′=

EE′

GE′

=

5

，
∴二面角E-AF-B的余弦值为

6

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．