Question

已知f（x）=x-lnx，g（x）=e^x-x．
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使不等式

2x-m

g(x)

＞x成立，求m的取值范围；
（Ⅲ）当x＞0时，证明：|lnx-e^x|＞2．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f′(x)=1-

1

x

，且f（x）的定义域为（0，+∞），由此利用导数性质能求出f（x）有最小值．
（Ⅱ）由已知得2x-m＞xg（x），g（x）=e^x-x＞0，2x-m＞xe^x-x²，m＜x²+2x-xe^x，令h（x）=x²+2x-xe^x，x＞0，由此利用导数性质能求出m的取值范围．
（Ⅲ）|lnx-e^x|=e^x-lnx=f（x）+g（x），当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，由此利用导数性质能证明|lnx-e^x|＞2．

解答： （Ⅰ）解：∵f′(x)=1-

1

x

，且f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）
∴由f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＞0，得x＞1，
由f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，…（3分）
∴当x=1时，f（x）有最小值f（1）=1．…（4分）
（Ⅱ）解：∵

2x-m

g(x)

＞x，∴2x-m＞xg（x），g（x）=e^x-x＞0，
∴2x-m＞xe^x-x²，∴m＜x²+2x-xe^x，…（5分）
令h（x）=x²+2x-xe^x，x＞0，
则h′（x）=2x+2-e^x-xe^x=x（2-e^x）+（2-e^x）=-（x+1）（e^x-2），
∴当x＞ln2时，h′（x）0，
∴h（x）_max=h（ln2）=ln²2，…（7分）
要想存在正数x，使m＜h（x），则有m＜h（x）_max=ln²2．
∴所求的m的取值范围是m＜ln²2．…（8分）
（Ⅲ）证明：|lnx-e^x|=e^x-lnx=f（x）+g（x），…（10分）
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞0，因此g（x）在（0，+∞）上为增函数
∴g（x）＞g（0），…（11分）
由（Ⅰ）知，f（x）≥1，
∴f（x）+g（x）＞1+1=2，
即|lnx-e^x|＞2．…（12分）

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用