Question

已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；             
（2）猜想a_n，并给出证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N*），可求得a₁，a₂，a₃；  
（2）由（1）可猜想，a_n=

n

-

n-1

（n∈N*），然后利用数学归纳法证明即可．

解答： （1）解：（由S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）（n∈N*），
令n=1得a₁=

1

2

（a₁+

1

a1

）⇒a₁=1；
令n=2得a₁+a₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）⇒a₂=

2

-1；
令n=3得a₁+a₂+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

），即1+（

2

-1）+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

），
整理得：a32+2

2

a₃-1=0，解得a₃=-

2

+

3

或a₃=-

2

-

3

（因为a₃＞0，故舍去）；
（2）根据（1）猜想，a_n=

n

-

n-1

（n∈N*）．
证明：①当n=1时，a₁=1，等式成立；
②假设n=k时，a_k=

k

-

k-1

，
则S_k=a₁+a₂+…+a_k=1+（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+（

k

-

k-1

）=

k

，
则n=k+1时，由S_k+1=S_k+a_k+1=

k

+a_k+1=

1

2

（a_k+1+

1

ak+1

），
整理得：ak+12+2

k

a_k+1-1=0，解得a_k+1=

k+1

-

k

或a_k+1=-

k+1

-

k

（舍去），
即n=k+1时，等式也成立；
综合①②知，a_n=

n

-

n-1

（n∈N*）．

点评：本题考查数学归纳法，着重考查计算、观察、猜想及运算推理能力，属于中档题．