Question

设f′（x）为函数f（x）的导数，对任意x∈R，都有0＜f（x）＜1且0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）求证：函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x₀；
（Ⅱ）若数列{x_n}满足x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）且x₁＞x₀，证明：x_n＞x₀（n∈N^*）且数列{x_n}为单调递减数列．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,函数的零点,数列的函数特性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导说明单调性，一负一正，则有唯一的零点；（Ⅱ）利用数学归纳法证明．

解答： 证明：（Ⅰ）∵F′（x）=f′（x）-1，
又∵0＜f′（x）＜1，∴F′（x）＜0．
则函数F（x）在R上为减函数，
又∵F（0）=f（0）-0＞0，
F（2）=f（2）-2＜0，
则函数F（x）=f（x）-x有唯一零点x₀．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x₀）=x₀；
∵0＜f′（x）＜1．x∈R，
∴函数f（x）在R上是增函数；
①∵x₁＞x₀，∴f（x₁）＞f（x₀）；又∵x_n+1=f（x_n）；
即x₂＞x₀，
②假设x_n-1＞x₀，则f（x_n-1）＞f（x₀），
即x_n＞x₀．
故x_n＞x₀（n∈N^*）．
又∵x_n+1-x_n=f（x_n）-x_n=F（x_n）；
且函数F（x）在R上为减函数，又x_n＞x₀，
∴x_n+1-x_n=F（x_n）＜F（x₀）=0，
∴x_n+1＜x_n；
∴数列{x_n}为单调递减数列．

点评：本题考查了函数导数的综合应用及数学归纳法．属于难题．