Question

已知函数f（x）=e^x-a（x+1）在x=ln2处的切线的斜率为1．（e为无理数，e=2.71828…）
（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小值；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥mx²恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，由在x=ln2处的切线的斜率为1，求得a=1．再求导数，单调区间和极值，也为最值；
（Ⅱ）记g（x）=e^x-x-1-mx²，求出导数，设h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，求出导数，讨论①m≤

1

2

，
②m＞

1

2

的函数的单调性，求出最值，即可判断．

解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=e^x-a，由已知，得f′（ln2）=2-a=1∴a=1． 
此时f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，
∴当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0． 
∴当x=0时，f（x）取得极小值，该极小值即为最小值，
∴f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）记g（x）=e^x-x-1-mx²，g′（x）=e^x-1-2mx，
设h（x）=g′（x）=e^x-1-2mx，则h′（x）=e^x-2m，
①当m≤

1

2

时，h′（x）≥0（x≥0），h（x）≥h（0）=0，
∴g′（x）≥0，∴g（x）≥g（0）=0，∴m≤

1

2

时满足题意；
②当m＞

1

2

时，令h′（x）=0，得x=ln2m＞0，
当x∈[0，ln2m]，h′（x）＜0，h（x）在此区间上是减函数，h（x）≤h（0）=0，
∴g（x）在此区间上递减，∴g（ln2m）≤g（0）=0不合题意．
综合得m的取值范围为(-∞，

1

2

]．

点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间、求极值和求最值，考查不等式的恒成立问题转化为求最值，属于中档题．