Question

在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的极坐标方程是ρsin（θ-

π

4

）=-2

2

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．
（Ⅱ）由点到直线的距离公式、两角和的余弦公式，及余弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C的参数方程是

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ为参数），曲线C的普通方程为x²+（y-2）²=4，
直线l的极坐标方程是ρsin（θ-

π

4

）=-2

2

，即ρ（sinθ-cosθ）=-4，
∴直线l的方程为：x-y-4=0，…（5分）
（Ⅱ）点P到直线l的距离d=

|2cosα-(2+2sinα)-4|

2

=

6-2 2 cos(α+ π 4 )

2

，
当cos(α+

π

4

)=1时，dmin=3

2

-2                               …（10分）

点评：本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容，属于中档题．