Question

设在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片，标号分别记为x，y，设随机变量ξ=|x-2|+|y-x|．
（1）写出x，y的可能取值，并求随机变量ξ的最大值；
（2）求事件“ξ取得最大值”的概率；
（3）求ξ的分布列和数学期望与方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）x，y的可能取值都为1，2，3．由此能示出随机变量ξ的最大值．
（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n=3×3=9，由此能求出事件“ξ取得最大值”的概率．（3）ξ的所有取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望与方差．

解答： 解：（1）x，y的可能取值都为1，2，3．
|x-2|≤1，|y-x|≤2，∴ξ≤3，
∴当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ取最大值3．…（3分）
（2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数n=3×3=9，
∴P（ξ=3）=

2

9

．…（4分）
（3）ξ的所有取值为0，1，2，3，
当ξ=0时，只有x=2，y=2这1种情况，∴P（ξ=0）=

1

9

．
当ξ=1时，只有x=1，y=1，或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3，
共4种情况，
∴P（ξ=1）=

4

9

；
当ξ=2时，只有x=1，y=2，或x=3，y=2这2种情况，
∴P（ξ=2）=

2

9

．
当ξ=3时，P（ξ=3）=

2

9

，…（7分）
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 9	2 9	4 9	2 9

∴数学期望Eξ=0×

1

9

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

2

9

=

14

9

，
方差Dξ=

1

9

(0-

14

9

)2+

2

9

(1-

14

9

)2+

4

9

(2-

14

9

)2+

2

9

(2-

14

9

)2=

8

9

．…（9分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．