Question

某淋浴房地面的形状如图，是半径为1米的直角扇形AOB，OM是∠AOB的平分线，D是弧AB上的一点，以D为顶点作内接矩形DEFG，且DE⊥OM，若将矩形的部分铺设成防滑瓷砖，设∠DOG=θ
（1）请将DG的长度表示成θ的函数；
（2）求淋浴房内防滑部分的面积S的最大值．

Answer 1

考点：弧度制的应用,函数解析式的求解及常用方法,扇形面积公式

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意可得∠OGD=135°，在△OGD中，由正弦定理可得：

1

sin135°

=

DG

sinθ

，即可解得；
（2）ED=2ODsin(

π

4

-θ)=

2

cosθ-

2

sinθ，可得S=ED•DG=

2

sinθ(

2

cosθ-

2

sinθ)=

2

sin(2θ+

π

4

)-1，
利用0＜θ＜

π

4

，可得

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

．即可得出．

解答： 解：（1）由题意可得∠OGD=135°，在△OGD中，由正弦定理可得：

1

sin135°

=

DG

sinθ

，解得DG=

2

sinθ(0＜θ＜

π

4

)．
（2）ED=2ODsin(

π

4

-θ)=

2

cosθ-

2

sinθ，
∴S=ED•DG=

2

sinθ(

2

cosθ-

2

sinθ)
=sin2θ-2sin²θ
=sin2θ-（1-cos2θ）
=

2

sin(2θ+

π

4

)-1，
∵0＜θ＜

π

4

，∴

π

4

＜2θ+

π

4

＜

3π

4

．
∴当2θ+

π

4

=

π

2

，即θ=

π

8

时，sin(2θ+

π

4

)取得最大值1，
此时淋浴房内防滑部分的面积S的最大值为

2

-1．

点评：本题考查了矩形的面积、正弦定理、两角和差的正弦公式、倍角公式、正弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．