Question

设a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，m+n≤1．
（Ⅰ）求证：

a2

m

+

b2

n

≥（a+b）²；
（Ⅱ）对于任意实数t，求证：（

a2

m

+

b2

n

）t²-2（a+b）t+（m+n）≥0恒成立．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：本题（1）利用柯西不等式，结合m+n≤1，可得出结论；（2）构造关于t的二次函数，利用函数的图象特征，得到函数值非负，即得到本题结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴(m+n)(

a2

m

+

b2

n

)≥(

m× a2 m

+

n× b2 n

)2=（|a|+|b|）²≥（a+b）²，
∴

a2

m

+

b2

n

≥

1

m+n

(a+b)2．
∵m+n≤1，
∴

1

m+n

≥1．
∴

a2

m

+

b2

n

≥（a+b）²；
（Ⅱ）记f（t）=（

a2

m

+

b2

n

）t²-2（a+b）t+（m+n），
∵a、b为实数，0＜n＜1，0＜m＜1，
∴抛物线y=f（t）的图象开口向上．
 抛物线y=f（t）对应方程根的差别式为：
△=[-2(a+b)]2-4(

a2

m

+

b2

n

)(m+n)
=4[2ab-(

n

m

a2+

m

n

b2)]．
∵

n

m

a2+

m

n

b2≥2

n m a2× m n b2

=2ab．
∴△≤0．
∴对于任意实数t，抛物线y=f（t）的函数值非负，即f（t）≥0，
∴（

a2

m

+

b2

n

）t²-2（a+b）t+（m+n）≥0恒成立．

点评：本题考查了柯西不等式和构造法证明不等式，有一定的思维量，属于中档题．