Question

已知抛物线C：y²=4x，直线l：y=-x+b与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）联立

y=-x+b y2=4x

，得y²+4y-4b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程．
（Ⅱ）由直线l与y轴负半轴相交，得-1＜b＜0，由点O到直线l的距离d=

|b|

2

，得S△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

2(16+16b)

|b|

2

=2

b2(1+b)

．由此利用导数性质能求出△AOB的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）联立

y=-x+b y2=4x

，
消x并化简整理得y²+4y-4b=0．
依题意应有△=16+16b＞0，解得b＞-1．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4b，
设圆心Q（x₀，y₀），则应有x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

=-2．
∵以AB为直径的圆与x轴相切，
得到圆半径为r=|y₀|=2，
又|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+1)(y1-y2)2

=

2(16+16b)

．
∴|AB|=2r=

2(16+16b)

=4，解得b=-

1

2

．
∴x0=

x1+x2

2

=

-y1+b-y2+b

2

=

3

2

，∴圆心为(

3

2

，-2)．
故所求圆的方程为(x-

3

2

)2+(y+2)2=4．
（Ⅱ）∵直线l与y轴负半轴相交，∴b＜0，
又直线l与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知b＞-1，∴-1＜b＜0，
点O到直线l的距离d=

|b|

2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

2(16+16b)

|b|

2

=2

b2(1+b)

．
令g（b）=b²（1+b）=b²+b³，-1＜b＜0，
g′(b)=3b2+2b=3b(b+

2

3

)，
∴g（b）在(-1，-

2

3

)增函数，在(-

2

3

，0)是减函数，
∴g（b）的最大值为g(-

2

3

)=

4

27

．
∴当b=-

2

3

时，△AOB的面积取得最大值

4 3

9

．

点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．