Question

已知函数f（x）=ax²+2bx，g（x）=b+lnx（a∈[-1，2]，b∈R，b≠0）
（Ⅰ）求命题A：“函数f（x）的图象是开口向上的抛物线”为真命题的概率；
（Ⅱ）若a∈Z，b∈{-2，-1，1，2}，写出所有的数对（a，b）．设函数φ（x）=

f(x)，x≤1 g(x)，x＞1

，记“?x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂，

φ(x1)-φ(x2)

x1-x2

＞0”为事件B，求事件B发生的概率P（B）．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,二次函数的性质

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由抛物线开口向上可得a＞0，由几何概型可得所求概率为

2

3

；（Ⅱ）列举可得所有的数对（a，b）共16个，由函数的单调性可得a+b≤0，满足条件的数对（a，b）共8个，由概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）由抛物线开口向上可得a＞0，
∵a∈[-1，2]，∴由几何概率型可得所求概率为

2

3

；
（Ⅱ）所有的数对（a，b）为：
（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（0，-2），
（0，-1），（0，1），（0，2），（1，-2），（1，-1），（1，1）
（1，2），（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，1）共16个，
∵x＞1时，φ（x）=g（x）=b+lnx在区间（1，+∞）为增函数，
∴“?x₁，x₂∈[1，+∞），x₁≠x₂，

φ(x1)-φ(x2)

x1-x2

＞0”成立，
∴要使事件B发生，只需f（1）≤g（1），即a+b≤0，
满足条件的数对（a，b）为（-1，-2），（-1，-1），（-1，1），（0，-2），
（0，-1），（1，-2），（1，-1），（2，-2）共8个，
∴所求概率为

8

16

=

1

2

点评：本题考查列举法求古典概型的概率，涉及函数的单调性，属基础题．