Question

命题：在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y²=2x相交于A，B两点，如果直线l过点T（3，0）．那么

OA

•

OB

=3．写出上述命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

考点：四种命题

专题：推理和证明

分析：根据四种命题的定义，可写出原命题的逆命题，并判断其为假命题；
方法一：举出反例A（2，2），B（

1

2

，1），得到T（3，0）不在直线AB上，从而证明逆命题为假命题；
方法二：设直线l：x=ty+b，联立抛物线方程，根据

OA

•

OB

=3，求出T点坐标不是（3，0）．从而证明逆命题为假命题；

解答： 解：原命题的逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点，
如果

OA

•

OB

=3，那么该直线过点T（3，0）．------（4分）
该命题是假命题-------------------------（6分）
理由1：取抛物线上的点A（2，2），B（

1

2

，1），此时

OA

•

OB

=3，
直线AB的方程为：y=

2

3

（x+1），而T（3，0）不在直线AB上．----（12分）
故此命题为假命题．-------------------------------（13分）
理由2：设直线l：x=ty+b，代入抛物线y²=2x消去x，得y²-2ty-2b=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2b，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂=b²-2b，------------（9分）
令b²-2b=3，得b=3或b=-1．
此时直线l过点（3，0）或（-1，0）-----------------------（12分）
故此命题为假命题．-------------------（13分）

点评：本题考查的知识点是四种命题，命题的真假判断，是简单逻辑的综合运用，难度中档．