Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为A₁A、D₁C₁的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面A₁B₁C₁D₁相交与直线l．
（1）画出直线l的位置；
（2）设l∩A₁B₁=P，求PB的长；
（3）求A到l的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平行公理

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连接DM并延长交D₁A₁延长线于E，连接NE即是所求直线l；
（2）容易求得A1P=

1

4

a，所以B₁P=

3

4

a，又BB₁=a，所以在Rt△BB₁P中，可求出BP；
（3）求A到l的距离，所以想着找过a，与l垂直的线段，所以过A₁作l的垂线，垂足为F，连接AF，容易说明AF⊥l，所以根据一些边的长度求AF长度即可．

解答： 解：（1）如图，连接DM，并延长交DA₁延长线于E，连接NE，则NE即为所找直线l；
（2）根据已知条件知：MA₁∥DD₁，且MA1=

1

2

DD1，∴A₁为ED₁的中点；
A1P=

1

2

D1N=

1

4

a，∴B1P=

3

4

a，BB₁=a，∴PB=

9 16 a2+a2

=

5a

4

；
（3）过A₁作A₁F⊥l，垂足为F，连接AF，∵AA₁⊥平面ED₁N，EN?平面ED₁N，∴AA₁⊥EN即EN⊥AA₁，又EN⊥A₁F，AA₁∩A₁F=A₁，∴EN⊥平面AA₁F，AF?平面AA₁F，∴EN⊥AF，∴求A到l的距离，求AF的长度即可；
EP=

1

2

EN=

1

2

4a2+ 1 4 a2

=

17 a

4

，∴在Rt△EA₁P中，A₁E•A₁P=EP•A₁F，∴a•

a

4

=

17 a

4

•A1F，∴A1F=

a

17

；
∴在Rt△AA₁P中，AA₁，AP=

a2+ a2 17

=

3 34 a

17

，即A到l的距离为：

3 34 a

17

．

点评：三角形的中位线，直角三角形中边的关系，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理．