Question

已知直线l过点M（-1，2）且与直线y=x垂直，抛物线C：y=x² 与直线l交于A、B两点．
（1）求直线l的参数方程；
（2）设线段AB的中点为P，求P的坐标和点M到A、B两点的距离之积．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由于直线l过点M（-1，2）且与直线y=x垂直，可得直线l的斜率k=-1，其倾斜角α=

3π

4

，即可直线l的参数方程为：

x=-1+tcos 3π 4 y=2+tsin 3π 4

，（t为参数）化简即可．
（2）将

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

代入y=x² 可得t2+

2

t-2=0．设A与B两点所对应的参数分别为t₁，t₂，可得

t1+t2

2

，t₁t₂．
所以线段AB中点所对应的参数为t=

t1+t2

2

=-

2

2

，即可得出中点坐标；点M到两点A与B的距离之积为|MA|•|MB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|．

解答： 解：（1）∵直线l过点M（-1，2）且与直线y=x垂直，∴直线l的斜率k=-1，其倾斜角α=

3π

4

，
∴直线l的参数方程为：

x=-1+tcos 3π 4 y=2+tsin 3π 4

，化为

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t为参数）．
（2）将

x=-1- 2 2 t y=2+ 2 2 t

代入y=x² 可得t2+

2

t-2=0．
设A与B两点所对应的参数分别为t₁，t₂，则

t1+t2

2

=-

2

2

，t₁t₂=-2．
所以线段AB中点所对应的参数为t=

t1+t2

2

=-

2

2

，
∴中点坐标为(-

1

2

，

3

2

)；
点M到两点A与B的距离之积为|MA|•|MB|=|t₁||t₂|=|t₁t₂|=2．

点评：本题考查了直线的参数方程、直线与抛物线相交问题、中点坐标公式、参数的几何意义，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．