Question

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．
（1）求证：AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：立体几何

分析：（1）由已知得∠FAD=∠ECD，AD=CD，∠ADF=∠CDE，由此能证明△ADF≌△CDE，从而AF=CE．
（2）若AC=EF，则四边形AFCE是矩形，由AF∥CE，知四边形AFCE是平行四边形，由此能推导出四边形AFCE是矩形．

解答： （1）证明：在△ADF和△CDE中，
∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．
又∵D是AC的中点，∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE．∴AF=CE．  （4分）
（2）解：若AC=EF，则四边形AFCE是矩形．
由（1）知AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AC=EF，
∴四边形AFCE是矩形．（4分）

点评：本题考查线段相等的证明，考查四边形形状的判断与证明，解题时要认真审题，是基础题．