Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2AD=2AB=2．
（Ⅰ）若E为PC中点，求三棱锥C-BDE的体积；
（Ⅱ）在线段PB上找出一点F，使得AF∥平面PCD，指出点F的位置并加以证明．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的性质

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）运用等积法，V_C-BDE=V_E-BCD，在平面PAC中，过E作EH∥PA，交AC于H，求出EH，即可得到；
（Ⅱ）当F为线段PB的中点时，使得AF∥平面PCD．连接EF，ED，运用中位线定理，证得四边形ADEF为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：在平面PAC中，过E作EH∥PA，交AC于H，
∵PA⊥平面ABCD，∴EH⊥平面ABCD，
∵E为PC中点，∴EH=

1

2

，
三棱锥C-BDE的体积V_C-BDE=V_E-BCD=

1

3

•EH•S△BCD
=

1

3

×

1

2

×

1

2

×2×1=

1

6

；
（Ⅱ）当F为线段PB的中点时，使得AF∥平面PCD．
证明如下：连接EF，ED，
∵PE=EC，PF=FB，∴EF∥BC，EF=

1

2

BC=1，
∵AD∥BC，AD=1，∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，
∵AF?平面PCD，DE?平面PCD，∴AF∥平面PCD．

点评：本题考查线面平行的判定和性质，注意条件的全面性，考查线面垂直的性质，以及棱锥体积的计算，注意运用等积法，属于中档题．