Question

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为

2

3

，乙获胜的概率为

1

3

，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）用事件A_i表示第i局比赛甲获胜，则A_i两两相互独立，由此能求出甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率．
（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： （本小题共13分）
解：（Ⅰ）用事件A_i表示第i局比赛甲获胜，
则A_i两两相互独立．…（1分）
P=P(A1A2+

.

A1

A2A3)
=P(A1)P(A2)+P(

.

A1

)P(A2)P(A3)=

2

3

•

2

3

+

1

3

•

2

3

•

2

3

=

16

27

．…（4分）
（Ⅱ）X的取值分别为2，3，4，5，…（5分）
P（x=2）=

2

3

•

2

3

+

1

3

•

1

3

=

5

9

，
P（x=3）=

1

3

•

2

3

•

2

3

+

2

3

•

1

3

•

1

3

=

2

9

，
P（x=4）=

2

3

•

1

3

•

2

3

•

2

3

+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

1

3

=

10

81

，
P（x=5）=

2

3

•

1

3

•

2

3

•

1

3

+

1

3

•

2

3

•

1

3

•

2

3

=

8

81

，…（9分）
所以X的分布列为

X	2	3	4	5
P	5 9	2 9	10 81	8 81

…（11分）
EX=2×

5

9

+3×

2

9

+4×

10

81

+5×

8

81

=

224

81

．…（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．