Question

设函数f（x）=ax+e^x（a∈R）
（1）若函数f（x）有且只有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，若曲线f（x）上存在横坐标成等差数列的三个点A，B，C
①证明：△ABC为钝角三角形；
②试判断△ABC能否为等腰三角形，并说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数零点的判定定理

专题：导数的概念及应用

分析：（1）由已知得f′（x）=a+e^x，由此利用导数性质和分类讨论思想能求出实数a的取值范围．
（2）①当a=1时，f（x）=x+e^x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，∠ABC一定是钝角，由此能证明△ABC为钝角三角形．
②由于A到B的变化率要小于B到C的变化率，由两点间距离公式得AB＜BC，从而△ABC不可能等腰三角形．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+e^x（a∈R），
∴f′（x）=a+e^x
①当a=0时，f（x）＞0，函数无零点；
②当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，有一个零点；
③当a＜0时，由f′（x）=a+e^x=0，得x=ln（-a），
当x∈（-∞，ln（-a）），f（x）单调递减；当x∈（ln（-a），+∞），f（x）单调递增．
f（x）在两个零点，则f（ln（-a））=aln（-a）-a＜0，
即ln（-a）-1＞0，a＜-e．
综上所述，若函数f（x）有且只有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），
则实数a的取值范围是（-∞，-e）．
（2）①证明：当a=1时，f（x）=x+e^x，
对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，
且横坐标依次增大，
由于此函数是一个单调递增的函数，
故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，
∴∠ABC一定是钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
②解：△ABC不可能等腰三角形．
理由如下：
由于A到B的变化率要小于B到C的变化率，
由两点间距离公式得AB＜BC，
∴△ABC不可能等腰三角形．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用