Question

已知各项都不相等的等差数列{a_n}的前五项和为30，且a₂是a₁和a₄的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足b_n=

1

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列方程组求出首项和公差，则数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n可求；
（2）把S_n代入b_n=

1

Sn

，整理后利用裂项相消法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则5a₁+10d=30 ①
又a22=a1a4⇒(a1+d)2=a1(a1+3d)⇒d²=da₁，
等差数列{a_n}各项都不相等，可知公差为d≠0，
∴d=a₁ ②
由①②解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+（n-1）•2=2n．Sn=

n(2+2n)

2

=n(n+1)；
（2）bn=

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=b1+b2+…+bn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．