Question

定义在R上的奇函数f（x），周期为4，且x∈（0，2）时，f（x）=

3x

9x+1

．
（1）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=

2

3x+2a

在x∈（0，2）上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x∈（-2，0），则-x∈（0，2），利用f（x）=-f（-x）和条件求出解析式，再由奇函数的性质和周期性求出端点处的函数值；
（2）把方程f（x）=

2

3x+2a

化简后，t=3^x并求出t的范围，将问题转化为：方程t²-2at+2=0，t∈（1，9）有两个不等实根，根据二次方程根的分布问题列出不等式组，求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵当x∈（0，2）时，奇函数f（x）=

3x

9x+1

，
设x∈（-2，0），则-x∈（0，2），
∴f(x)=-f(-x)=-

3x

9x+1

，
又∵f（x）即为奇函数，且周期为4，
∴f（0）=0，f（2）=f（-2）=0，
∴f(x)=

0，x=0或-2或2 3x 9x+1 ，0＜x＜2 - 3x 9x+1 ，-2＜x＜0

，
（2）由f（x）=

2

3x+2a

得，

3x

9x+1

=

2

3x+2a

，
化简得：（3^x）²-2a•（3^x）+2=0，
令t=3^x，得到t²-2at+2=0，t∈（1，9），
即方程t²-2at+2=0，t∈（1，9）有两个不等实根，
令g（t）=t²-2at+2，∴

△=4a2-8≥0 1＜a＜9 g(1)=3-2a＞0 g(9)=83-18a＞0

，
解得

2

＜a＜

3

2

，
故实数a的取值范围：

2

＜a＜

3

2

．

点评：本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，二次方程根的分布问题，以及换元法，属于中档题．