Question

设定义域R函数f（x）=sinx²（其中sinx²意指x²的正弦值）
（1）请指出该函数的零点、最大（小）值，并类比“五点作图法”画出该函数在区间[0，

2π

]上的大致图象；
（2）请指出该函数的奇偶性、单调区间和周期性（不必证明）．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意，列表，类比“五点作图法”画出该函数在区间[0，

2π

]上的大致图象即可；
（2）借助该函数在区间[0，

2π

]上的大致图象，可得到该函数的奇偶性、单调区间和周期性．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx²，
由x²=kπ（k∈N）得：x=

kπ

（k∈N），
∴该函数的零点为x=

kπ

（k∈N），最大值为1，最小值为-1；
列表如下：

x	0	π 2	π	3π 2	2π
f（x）	0	1	0	-1	1

作出该函数在区间[0，

2π

]上的大致图象为：

（2）该函数为偶函数，在[0，

π 2

]上单调递增；[

2kπ+ π 2

，

2kπ+ 3π 2

]（k∈N）上单调递减；在[

2kπ+ 3π 2

，

2kπ+ 5π 2

]（k∈N）上单调递增；
在[-

2kπ+ 3π 2

，-

2kπ+ π 2

]（k∈N）上单调递增；在[-

2kπ+ 5π 2

，-

2kπ+ 3π 2

]（k∈N）上单调递减；在[-

π 2

，0]上单调递减；
该函数不是周期函数．

点评：本题考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的奇偶性、单调区间和周期性，考查作图能力与运算能力，属于中档题．