Question

已知函数f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n）（n≥2，n∈N^*），其导函数为f′（x），设g（n）=

f(0)

f′(-2)

，则g（100）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：先构造函数h（x）=（x+1）（x+3）…（x+n）（n≥2，n∈N^*），再求导，求出f′（-2）=-（n-2）!，推导得到g（n）=-n（n-1），问题得以解决．

解答： 解：设h（x）=（x+1）（x+3）…（x+n）（n≥2，n∈N^*），
∴f（x）=h（x）（x+2），
∴f′（x）=h′（x）（x+2）+h（x）
∴f′（-2）=h′（-2）（-2+2）+h（-2）=h（-2）=（-2+1）（-2+3）（-2+4）+…+（-2+n）=-1×1×2×…×（n-2）=-（n-2）!，
∴f（0）=1×2×3×…×n=n!
∴g（n）=

f(0)

f′(-2)

=

n！

-(n-2)！

=-n（n-1），
∴g（100）=-100（100-1）=-9900．
故答案为：-9900

点评：本题主要考查了导数运算法则，关键是构造函数，属于中档题．